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<!DOCTYPE html>

<title>Lagrange-Formalismus</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Lagrange-Formalismus</h1>

</header>

</div>

Der Lagrange-Formalismus ist in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> eine 1788 von <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> eingeführte Formulierung der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a>, in der die <a href="Dynamik_(Physik)" title="Dynamik (Physik)">Dynamik</a> eines Systems durch eine einzige <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalare</a> Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zur <a href="Newtonsche_Gesetze" title="Newtonsche Gesetze">newtonschen Mechanik</a>, die auf <a href="Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsysteme</a> festgelegt ist) auch auf <a href="Beschleunigtes_Bezugssystem" title="Beschleunigtes Bezugssystem">beschleunigte Bezugssysteme</a> anwendbar. Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichungen</a> mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsrechnung</a> aus dem <a href="Hamiltonsches_Prinzip" title="Hamiltonsches Prinzip">Prinzip der extremalen Wirkung</a> bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze, im Lagrange-Formalismus <a href="Zwangsbedingung" title="Zwangsbedingung">Zwangsbedingungen</a> relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der <a href="Zwangskraft" title="Zwangskraft">Zwangskräfte</a> oder die geeignete Wahl <a href="Generalisierte_Koordinate" title="Generalisierte Koordinate">generalisierter Koordinaten</a> berücksichtigen lassen. Aus diesem Grund wird der Lagrange-Formalismus verbreitet bei <a href="Mehrk%C3%B6rpersystem" title="Mehrkörpersystem">Mehrkörpersystemen</a> (MKS) eingesetzt. Er lässt sich auch auf den relativistischen Fall übertragen und ist auch in der relativistischen <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a> zur Formulierung von Modellen von Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen weit verbreitet, behandelt dort allerdings eine feldtheoretische Version (<a href="Lagrange-Dichte" title="Lagrange-Dichte">Lagrange-Dichte</a>).

Für Systeme mit einem generalisierten Potential und <a href="Holonom" title="Holonom">holonomen</a> <a href="Zwangsbedingung" title="Zwangsbedingung">Zwangsbedingungen</a> lautet die Lagrange-Funktion

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=T-V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00644a2f8d4ddaa3b1ae36d472aabaeb63e4d9dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.945ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L=T-V}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> die <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

Man unterscheidet sogenannte Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art. Im engeren Sinn versteht man unter dem Lagrange-Formalismus und den Lagrange-Gleichungen aber die zweiter Art, die häufig einfach als Lagrange-Gleichungen bezeichnet werden:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {L}}{\partial q_{i}}}=0\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/828d04055ad66da890f5a513aaba69a59cd882da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.425ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {L}}{\partial q_{i}}}=0\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2752dcbff884354069fe332b8e51eb0a70a531b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.837ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{i}}" loading="lazy"> generalisierte Koordinaten und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lagrange-Gleichungen_erster_und_zweiter_Art">Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art</h2></div>

Mit den Lagrange-Gleichungen erster Art lassen sich die Zwangskräfte berechnen. Sie sind äquivalent zu den Gleichungen, die sich aus dem <a href="D%E2%80%99Alembertsches_Prinzip" title="D’Alembertsches Prinzip">D’Alembertschen Prinzip</a> ergeben. Wir betrachten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> Punktteilchen im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78f5d3ab4274ff721a459b33cbf297676d01d542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.313ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> mit den <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektoren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f6633db59128407bc667142090e0de7732bcaf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.482ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}}" loading="lazy">, mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \{1,...,N\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \{1,...,N\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/025096ad0076ebf34d0c033e03a42035506dd64c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \{1,...,N\}}" loading="lazy">, deren Koordinaten durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> voneinander unabhängige (<a href="Holonom" title="Holonom">holonome</a>) <a href="Zwangsbedingung" title="Zwangsbedingung">Zwangsbedingungen</a> der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{k}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{k}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6135583686d85c189339c6a1fa18001c47730c68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.655ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{k}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,s\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,s\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2494ca9fe7463436f9764e35c8d45cb0b725a79d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.808ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k\in \{1,\ldots ,s\}}" loading="lazy"> eingeschränkt sind (eine explizite Zeitabhängigkeit ist erlaubt). Dadurch werden die Lagen der Teilchen auf eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (3N-s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (3N-s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a79fb9ad9ec23829ee88a6d8c40bc7de08920e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.966ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (3N-s)}" loading="lazy">-dimensionale <a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeit</a> eingeschränkt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=3N-s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=3N-s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c432228b9421f32742b91a46ad867c97d0c8019.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.534ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=3N-s}" loading="lazy"> ist die Anzahl der <a href="Freiheitsgrade" class="mw-redirect" title="Freiheitsgrade">Freiheitsgrade</a>).

Die auf ein Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> wirkenden Zwangskräfte sind proportional zum <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla F_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla F_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19da9025589d16f62b70429485cee9fd14bf05cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.519ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla F_{k}}" loading="lazy">, die Gesamt-Zwangskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Z} _{i}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Z} _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffea7b1b0cea8545148973585e2abb032115d5ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Z} _{i}}" loading="lazy"> ist daher

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Z} _{i}=\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}\nabla _{i}F_{k}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d51368d0d2b59958b9f27af893c0298df2bef023.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.684ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Z} _{i}=\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}\nabla _{i}F_{k}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn man annimmt, dass sich die äußeren Kräfte aus einem Potential ableiten lassen, kann man die Bewegungsgleichung schreiben (Lagrange-Gleichung 1. Art):<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=-\nabla _{i}V+\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}\nabla _{i}F_{k},\qquad i=1,\ldots ,N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d231cafa1f0e75e42822364c35713f3d75dc1cad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:46.561ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=-\nabla _{i}V+\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}\nabla _{i}F_{k},\qquad i=1,\ldots ,N}" loading="lazy"></dd></dl>

Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95ec8e804f69706d3f5ad235f4f983220c8df7c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}}" loading="lazy"> sind die Massen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> Punktteilchen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ist die potentielle Energie. Dies, zusammen mit den Zwangsbedingungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{k}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{k}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6135583686d85c189339c6a1fa18001c47730c68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.655ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{k}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0}" loading="lazy">, sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3N+s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3N+s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85c75b7892c25b9a084ca7a0e8591fa1a43d99d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.157ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3N+s}" loading="lazy"> unabhängige Gleichungen für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f05b2b88bb71a7fe6b449800d51de31683da674.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.226ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3N}" loading="lazy"> Koordinaten der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed603561819ebd007acd75a0931d3ba401ad677a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.902ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}" loading="lazy"> sowie für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> Lagrange-Multiplikatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57dfa9eb1c96d16ff53f264bd9710a16c0108469.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.444ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{k}}" loading="lazy">. Somit ist die Lösung des Gleichungssystems eindeutig.

Bemerkung: Hier wurden nur holonome Zwangsbedingungen behandelt. Der Formalismus lässt sich aber auch auf Zwangsbedingungen der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \sum _{k}a_{k}\delta q_{k}=0\,}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \sum _{k}a_{k}\delta q_{k}=0\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe700bb89f4518b21a41cbb9e31a2ae1b7b0e882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.071ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle \sum _{k}a_{k}\delta q_{k}=0\,}" loading="lazy"> anwenden, die z. B. bei nicht-holonomen Zwangsbedingungen zwischen den Geschwindigkeiten der Teilchen folgen.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Diese Zwangsbedingungsgleichungen lassen sich im Gegensatz zu holonomen Zwangsbedingungen nicht als <a href="Vollst%C3%A4ndiges_Differential" class="mw-redirect" title="Vollständiges Differential">vollständiges Differential</a> einer Funktion darstellen, das heißt, zwischen den Koeffizientenfunktionen gilt nicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\partial a_{i}}{\partial q_{k}}}={\tfrac {\partial a_{k}}{\partial q_{i}}}}">

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

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<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\partial a_{i}}{\partial q_{k}}}={\tfrac {\partial a_{k}}{\partial q_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c67ba4f4c62532d48a7c0a7d264dc0fe4019b6bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:9.957ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\partial a_{i}}{\partial q_{k}}}={\tfrac {\partial a_{k}}{\partial q_{i}}}}" loading="lazy">.

Im Fall von holonomen Zwangsbedingungen kann man neue Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2752dcbff884354069fe332b8e51eb0a70a531b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.837ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{i}}" loading="lazy"> einführen, die diese implizit enthalten, sogenannte <a href="Generalisierte_Koordinate" title="Generalisierte Koordinate">generalisierte Koordinaten</a>. Mit der kinetischen Energie

</mrow>

</munder>

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</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</munder>

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<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\left(\sum _{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\right)}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22c7e064f7c4c4b76a2a294254f930f53138e5c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:48.938ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle T=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\left(\sum _{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\right)}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

und Potentialkräften

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</mrow>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{i}=-\nabla _{i}V=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aeb411ad9e1e747dc7478d5f25500e3c25bd486.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.965ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle Q_{i}=-\nabla _{i}V=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

(die auch durch generalisierte Koordinaten ausgedrückt sind und dann als generalisierte Kräfte bezeichnet werden – sie haben nicht unbedingt die Dimension einer Kraft) lassen sich die Bewegungsgleichungen auch schreiben

<mfrac>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {T} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {T} \over \partial q_{i}}=Q_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f73f3037c6d0be2ac72bfc71ba380e1105493fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.867ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {T} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {T} \over \partial q_{i}}=Q_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

oder mit der Lagrange-Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=T-V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=T-V}</annotation>

</semantics>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {L} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {L} \over \partial q_{i}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a47955e99f1f86a42130d6d4aa86d119dcd70303.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.392ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {L} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {L} \over \partial q_{i}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Treten wie in diesem Fall nur aus einem Potential ableitbare Kräfte (Potentialkräfte) auf, spricht man von <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservativen Kräften</a>.

Bemerkung: Manchmal lassen sich die generalisierten Kräfte durch ein geschwindigkeitsabhängiges generalisiertes Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}">

<msub>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e858176b7201e56c50abb025d7090958046cc0ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}" loading="lazy"> in folgender Form schreiben

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1db333df163b1c4b5f7f0ad290fa6925d77f58c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.675ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle Q_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Auch dann ergeben sich die Bewegungsgleichungen

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</msub>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2796b6e24a4686bca4c4c43f2c6b7930a2636f3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.392ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

mit der Lagrange-Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=T(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)-V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2ec0e766573382efe09d5caeff6cb90255a1b6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:84.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=T(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)-V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Das System ist dann aber nicht mehr im üblichen Sinn konservativ. Ein Beispiel ist das elektromagnetische Feld (siehe unten).

Manchmal hat man aber noch nicht-konservative Kräfte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{i}^{*}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{i}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/241cba8306330f69e5596efb2147452720868c8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.893ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q_{i}^{*}}" loading="lazy">, so dass sich die Gleichungen schreiben:

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {L} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {L} \over \partial q_{i}}=Q_{i}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/377bf0eb45a93a1f46dad5b92122a9b78a2d3436.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.122ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {L} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {L} \over \partial q_{i}}=Q_{i}^{*}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ein Beispiel sind Systeme mit nicht-holonomen Zwangsbedingungen (siehe oben) oder Reibungskräften (zum Beispiel <a href="Rayleighsche_Dissipationsfunktion" title="Rayleighsche Dissipationsfunktion">Rayleighsche Dissipationsfunktion</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ableitung_aus_dem_Hamiltonschen_Prinzip">Ableitung aus dem Hamiltonschen Prinzip</h2></div>

Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art ergeben sich als sogenannte Euler-Lagrange-Gleichungen<a href="#cite_note-4">[4]</a> eines Variationsproblems und liefern die Bewegungsgleichungen, wenn die Lagrange-Funktion gegeben ist. Sie folgen aus der <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variation</a> des mit der Lagrange-Funktion gebildeten <a href="Wirkungsintegral" class="mw-redirect" title="Wirkungsintegral">Wirkungsintegrals</a> im <a href="Hamiltonsches_Prinzip" title="Hamiltonsches Prinzip">Hamiltonschen Prinzip</a>. Dazu betrachtet man alle möglichen Bahnkurven <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b1f8079f76d0e8a89cf19db8fc43f34ec569d25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q(t)}" loading="lazy"> im Raum der <a href="Generalisierte_Koordinate" title="Generalisierte Koordinate">generalisierten Koordinaten</a> zwischen festen Anfangs- und Endpunkten. Man betrachtet die Änderung des Wirkungsintegrals bei Variation der Bahnkurven

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,q\rightarrow q+\delta q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1e0b081834a1f942432d17ce52b7d54f034bb9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.099ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,q\rightarrow q+\delta q}" loading="lazy"></dd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,{\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}+\delta {\dot {q}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3f89fdd3c82296e84027741ff926a0ec7be9d41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.022ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,{\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}+\delta {\dot {q}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das hamiltonsche Prinzip besagt, dass für die klassische Bahn das Wirkungsintegral stationär unter Variation der Bahnkurven ist:

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</mover>

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<mover>

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</mover>

</mrow>

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<mover>

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</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W=W(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-W(q,{\dot {q}},t)=\delta \int {\text{d}}tL(q,{\dot {q}},t)=\int {\text{d}}t(L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-L(q,{\dot {q}},t))\ {\stackrel {!}{=}}\ 0\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5325b9e072477d6c05ba04bae8c74a9b616b56c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:102.183ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \delta W=W(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-W(q,{\dot {q}},t)=\delta \int {\text{d}}tL(q,{\dot {q}},t)=\int {\text{d}}t(L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-L(q,{\dot {q}},t))\ {\stackrel {!}{=}}\ 0\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Eine Näherung in erster Ordnung lautet für eine gewöhnliche <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29473ed0c4e838ac9dbe074535e507166c0e9101.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.607ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)}" loading="lazy">

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x+{\text{d}}x,y+{\text{d}}y)\approx f+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\text{d}}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\text{d}}y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2586161219ce9ef21f7508ebc407b53af3b2d388.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.403ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(x+{\text{d}}x,y+{\text{d}}y)\approx f+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\text{d}}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\text{d}}y}" loading="lazy"></dd></dl>

also

</mrow>

</mrow>

</mrow>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{d}}f=f(x+{\text{d}}x,y+{\text{d}}y)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}{\text{d}}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\text{d}}y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cf2c01b454d36c284bea912da1555a6b4462098.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:50.401ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\text{d}}f=f(x+{\text{d}}x,y+{\text{d}}y)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}{\text{d}}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\text{d}}y}" loading="lazy">.</dd></dl>

In erster Ordnung ergibt sich die Variation des Integrals also zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right)=\int {\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta q\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81ff409915c024f41adc70577dd0e2d81cc766bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:52.518ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int {\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right)=\int {\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta q\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Nun führt man eine <a href="Partielle_Integration" title="Partielle Integration">partielle Integration</a> in dem Term aus, der die Ableitung nach der Zeit enthält:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta q\right)=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\text{d}}t\left(\delta q{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c08646c8e3ec8d8caace73146825e6ae475ad967.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:54.452ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta q\right)=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\text{d}}t\left(\delta q{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Hierbei wird benutzt, dass

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1730b7c1aa912c88d68564112ce43f394658e68b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0}" loading="lazy"></dd></dl>

ist, da Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden. Daher gilt für die Randterme

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f55e9556569f9eacf844f688a12f53152db63f65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.229ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit resultiert schließlich

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\text{d}}t\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {\partial L}{\partial q}}\right)\delta q\mathrel {\stackrel {!}{=}} 0\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7985688557b03d2d737f080118026411e0a1c463.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.412ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int {\text{d}}t\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {\partial L}{\partial q}}\right)\delta q\mathrel {\stackrel {!}{=}} 0\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Da nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b04a2008f8892953aebfa2f8c83545ad7a9e56a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.118ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta q}" loading="lazy"> als Faktor des gesamten Integrals auftritt und beliebig ist, kann das Integral nur dann nach dem Variationsprinzip verschwinden, wenn der Integrand selbst verschwindet. Es folgen die Lagrange-Gleichungen oder Lagrange-Gleichungen zweiter Art (die Euler-Lagrange-Gleichungen des hier betrachteten Variationsproblems):

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {L}}{\partial q_{i}}}=0\,.}</annotation>

</semantics>

Für jede generalisierte Koordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2752dcbff884354069fe332b8e51eb0a70a531b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.837ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{i}}" loading="lazy"> (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa92ee5d3f74b0d1a40f53393bfec80758d3c2d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.177ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}" loading="lazy">) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlicher Differentialgleichungen</a> zweiter Ordnung bezüglich der Zeitableitung. Wie viele Differentialgleichungen das im Endeffekt sind, weiß man erst, wenn die Zahl der <a href="Freiheitsgrade" class="mw-redirect" title="Freiheitsgrade">Freiheitsgrade</a> des Systems berechnet wurde.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zyklische_Variablen_und_Symmetrie">Zyklische Variablen und Symmetrie</h2></div>

Wenn die Lagrange-Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> nicht von einer Koordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> abhängt, sondern nur von der zugehörigen Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/399dc6b6e91a780c89824ccc26b4453b289e4387.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.377ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}}" loading="lazy">, dann nennt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> zyklisch, zyklische Koordinate oder zyklische Variable. Der zur zyklischen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f56f836f03e204d83f907d56139361c73a88260a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:8.094ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist eine Erhaltungsgröße; sein Wert ändert sich nicht während der Bewegung, wie gleich gezeigt wird: Wenn die Lagrange-Funktion nicht von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial q}}=0\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeaa4aebc7f63d0e5bb47615ef37f933d1aeda84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.032ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial q}}=0\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dann folgt aber aus der Euler-Lagrange-Gleichung, dass die Zeitableitung des zugehörigen konjugierten Impulses verschwindet und er somit zeitlich konstant ist:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36e675a8248fd5471594d42a5f40caeb17984e09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

Allgemeiner gehört nach dem <a href="Noether-Theorem" title="Noether-Theorem">Noether-Theorem</a> zu jeder kontinuierlichen <a href="Symmetrie_(Physik)" title="Symmetrie (Physik)">Symmetrie</a> der Wirkung eine <a href="Erhaltungssatz" title="Erhaltungssatz">Erhaltungsgröße</a>. Bei einer zyklischen Variablen ist die Wirkung invariant unter der Verschiebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> um eine beliebige Konstante, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\rightarrow q+c\,.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\rightarrow q+c\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/679bfceb015e37d9a0def64837655c1562489245.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.634ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle q\rightarrow q+c\,.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erweiterung_auf_Felder">Erweiterung auf Felder</h2></div>

In der <a href="Feldtheorie_(Physik)" title="Feldtheorie (Physik)">Feldtheorie</a> ergibt sich die Bewegungsgleichung aus dem <a href="Hamiltonsches_Prinzip#Das_Hamiltonsche_Prinzip_für_Felder" title="Hamiltonsches Prinzip">hamiltonschen Prinzip für Felder</a> zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\partial _{\mu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41ce115e77a3a1477ad39379fae8e4c91640dbf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:61.665ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\partial _{\mu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)=0}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =\phi (x,y,z,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00d18961b5cdec4ad5f9f88d6ab8e6c0784eae2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi =\phi (x,y,z,t)}" loading="lazy"> das betrachtete <a href="Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">Feld</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73101cee93a0d196b36185890bbd6b613b80c5c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:34.53ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}" loading="lazy"> die <a href="Lagrange-Dichte" title="Lagrange-Dichte">Lagrange-Dichte</a> sind.

Man kann dies in Kurzform auch schreiben als

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\equiv 0\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/793be4529200df90fd0b61f4e4cc189ebaf5e968.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:8.783ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\equiv 0\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der so definierten <a href="Gateaux-Differential" class="mw-redirect" title="Gateaux-Differential">Variationsableitung</a>   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\partial _{\mu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\partial _{\mu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b35ccd3c043a39af9b46764e49c32f0d0dbb1d9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.286ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\partial _{\mu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)}" loading="lazy">.

Hinweis: Der Lagrange-Formalismus ist auch der Ausgangspunkt vieler Formulierungen der <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Relativistische_Mechanik">Relativistische Mechanik</h2></div>

In der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">relativistischen</a> Mechanik kann die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitet werden, indem für die Wirkung der einfachste Fall eines relativistischen Skalars angenommen wird:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=-mc\int \mathrm {d} s=-mc^{2}\int \mathrm {d} t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\int L\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85f7590ed9c4f69f4c1ae51cfb3ce5d8bd539863.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:48.038ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle S=-mc\int \mathrm {d} s=-mc^{2}\int \mathrm {d} t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\int L\,\mathrm {d} t}" loading="lazy">,</dd></dl>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \mathrm {d} s=c\,\mathrm {d} \tau =c\,\mathrm {d} t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd80e5e5f93362d0e369f6d6c3080fcf375e86cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:24.786ex; height:4.676ex;" alt="{\textstyle \mathrm {d} s=c\,\mathrm {d} \tau =c\,\mathrm {d} t{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}" loading="lazy"> das zur <a href="Eigenzeit" class="mw-redirect" title="Eigenzeit">Eigenzeit</a> proportionale relativistische Linienelement ist und ein konstanter Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,(-mc)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,(-mc)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3a77b59b0579f30959f0c4f2b5f826f20db9618.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.052ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,(-mc)}" loading="lazy"> gewählt wurde.

Die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens ist hier nicht mehr mit der kinetischen Energie identisch (manchmal spricht man deshalb auch von kinetischer Ergänzungsenergie T in der Lagrange-Funktion). Die relativistische kinetische Energie eines Körpers mit der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\dot {\mathbf {x} }}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\dot {\mathbf {x} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390aca64e76f87bc53fd47cb368b25f1ed43335b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.637ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v={\dot {\mathbf {x} }}}" loading="lazy"> ohne Zwangsbedingungen beträgt

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

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<msqrt>

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</mover>

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</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,}}-mc^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68035b17654b286fb132ef5db6d66dc40b391eac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:22.031ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,}}-mc^{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wohingegen für die Lagrange-Funktion die kinetische Ergänzungsenergie

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

<msqrt>

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<mover>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/768899bba08f5d5833a6fe446de98dabf1a2cf63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:27.811ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle T(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

maßgeblich ist. Die Lagrange-Funktion für ein Teilchen in einem Potential V ergibt sich dann zu

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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<msqrt>

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</mrow>

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</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)=T-V=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,-\,V(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458002a6071edcfa4c111c8501d98bd695d15c55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:50.061ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)=T-V=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,-\,V(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

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</munderover>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=-\sum _{i=1}^{N}m_{0,i}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}_{i}^{2}(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}{c^{2}}}}}\,-\,V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75e3c4d46554f35b207a156556621627edee2225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:105.17ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=-\sum _{i=1}^{N}m_{0,i}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}_{i}^{2}(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}{c^{2}}}}}\,-\,V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}" loading="lazy">,</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=3N-s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad5f94c4268a0c99bdd113b0cd31bcee884e54a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.65ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n=3N-s}" loading="lazy"> die Anzahl der Freiheitsgrade und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

Für kleine Geschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\dot {\mathbf {x} }}|\ll c}">

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\dot {\mathbf {x} }}|\ll c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b29f94900465c0fbd94383d494d7082990309814.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.326ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |{\dot {\mathbf {x} }}|\ll c}" loading="lazy"> kann man die Wurzel bis zur ersten Ordnung entwickeln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {1-x}}=1-x/2}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {1-x}}=1-x/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac23e206852a068410403860cf692f403a445c4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.024ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {1-x}}=1-x/2}" loading="lazy">:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<mfrac>

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<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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<msup>

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</msup>

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</mrow>

</msqrt>

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</mrow>

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<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}=-mc^{2}+{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80aca5f1597644c50b2ae0ca00ceecbecf36afb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:32.728ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle -mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}=-mc^{2}+{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die nullte Ordnung der Entwicklung ist eine Konstante, die negative Ruheenergie. Da die Lagrange-Gleichungen invariant sind unter Addition einer Konstanten zur Lagrange-Funktion, kann man den konstanten ersten Term weglassen und man erhält wieder die klassische kinetische Energie:

<msub>

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</mrow>

</mrow>

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<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{0,i}}{2}}{\dot {\mathbf {x} }}_{i}^{2}(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)\,-\,V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f080ea5f029e0b018739e522cf5f634e859b02ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:94.587ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{0,i}}{2}}{\dot {\mathbf {x} }}_{i}^{2}(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)\,-\,V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=T(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)\,-\,V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a47a4def0f9ef62a73ef6ebcc07a7d43ba56de2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:85.06ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)=T(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)\,-\,V(q_{1},\ldots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\ldots ,{\dot {q}}_{n},t)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_Pfadintegralen_in_der_Quantenmechanik">Zusammenhang mit Pfadintegralen in der Quantenmechanik</h2></div>

<a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a> hat als Erster diese Herangehensweise auch konsequent für die Herleitung der Gleichungen der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral stationär wird. In Feynmans <a href="Pfadintegral" title="Pfadintegral">Pfadintegral</a>-Formalismus ist die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein System zwischen Anfangs- und Endbedingungen einen bestimmten Pfad einschlägt, proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(\mathrm {i} W/\hbar )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(\mathrm {i} W/\hbar )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32255c4339d819e172e47505c53375d5dea44002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(\mathrm {i} W/\hbar )}" loading="lazy"> mit dem Wirkungsintegral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy">. Pfade in der Umgebung des klassischen Weges, für den die Variation von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> verschwindet, liefern dabei meist die Hauptbeiträge, da sich in ihrer Umgebung die Beiträge mit fast gleichen Phasenfaktoren addieren.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Masse_im_harmonischen_Potential_(konservativ)">Masse im harmonischen Potential (konservativ)</h3></div>

Eine Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> sei über zwei Federn mit Federkonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> und festen Randbedingungen verbunden. Grundvoraussetzung zur Beschreibung des Problems im Lagrange-Formalismus ist das Aufstellen der Lagrange-Funktion, indem man die Terme für kinetische Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und potentielle Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d014bc8cae1deca4fb09381a65d8ea660d9070ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.158ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {1}{2}}cx^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2f8cf0b5b25d3e44c4dfe12d18c4a4709daa63a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.275ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {1}{2}}cx^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Lagrange-Funktion lautet daher:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}cx^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50d638234c010c7e517ce32235191b2ffd6f5fdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.334ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}cx^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Lagrange-Funktion wiederum wird zur analytischen Beschreibung des physikalischen Problems in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt, was dann auf Gleichungen führt, die den Bewegungsgleichungen in der Newtonschen Mechanik entsprechen. In diesem Beispiel lautet die <a href="Generalisierte_Koordinate" title="Generalisierte Koordinate">generalisierte Koordinate</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}={\partial {L} \over \partial x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60eb0013802148d3259c4ab418223c220b5fc044.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.541ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}={\partial {L} \over \partial x}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dies führt mit obigen Formeln für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(m{\dot {x}}\right)=-cx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0c0149d82b7d27fc051bf658d7c38238a85c17f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.359ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(m{\dot {x}}\right)=-cx}" loading="lazy"></dd></dl>

und damit auf die <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichung</a> des Systems:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {c}{m}}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26b82911a99be0fcf8a73fc84916b34d403fc2cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.442ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {c}{m}}x}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die allgemeine Lösung dieser <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e62e2fc14edd9109752ccf9df3f1627362ec3b3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.774ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ist die Zeit, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \omega ={\sqrt {c/m}}}">

<msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \omega ={\sqrt {c/m}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef8e46e081c2030bbaa86653a3695a0faa4240ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.078ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \omega ={\sqrt {c/m}}}" loading="lazy"> die <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a>. Die konstante Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und Phase <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ladung_im_elektromagnetischen_Feld_(nicht-konservativ)">Ladung im elektromagnetischen Feld (nicht-konservativ)</h3></div>

Eine Punktladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> mit Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

Die Felder (Magnetfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {B} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {B} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cafb0ef39b0f5ffa23c170aa7f7b4e718327c4d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.901ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {B} }" loading="lazy"> und elektrisches Feld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {E} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {E} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d7f22b39d51f780fc02859059c1757c606b9de2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.757ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {E} }" loading="lazy">) werden über das Skalarpotential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> und das Vektorpotential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {A} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0795cc96c75d81520a120482662b90f024c9a1a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} }" loading="lazy"> bestimmt:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)\ ,\quad \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}-\nabla \phi (\mathbf {x} ,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af51d3c013e908df4b4750555b343e8eaaf75da3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:58.201ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)\ ,\quad \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}-\nabla \phi (\mathbf {x} ,t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die kinetische Energie des Teilchens ist klassisch:

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T({\dot {\mathbf {x} }})={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b83282d04b0d7d6bab834bddbb30d67766d20f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.459ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T({\dot {\mathbf {x} }})={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das „Potential“ ist hier allerdings geschwindigkeitsabhängig, man spricht deshalb wie oben dargestellt von einem generalisierten Potential:

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)=q\left(\phi (\mathbf {x} ,t)-{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff788179e7e03751762c8fe55a03f6b390caaffe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.213ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)=q\left(\phi (\mathbf {x} ,t)-{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Somit ist die Lagrange-Funktion eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld:

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (\mathbf {x} ,t)+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c73187b9e433848cf6a369009c70a81ac521772.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:44.775ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle L(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (\mathbf {x} ,t)+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Euler-Lagrange-Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}L-\nabla _{\mathbf {x} }L=0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}L-\nabla _{\mathbf {x} }L=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6450809b0babcc1ba5e865d3c1d443be6b9129bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.49ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}L-\nabla _{\mathbf {x} }L=0}" loading="lazy"> führt auf die Bewegungsgleichung, auf deren rechter Seite die <a href="Lorentzkraft" title="Lorentzkraft">Lorentzkraft</a> steht:

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\,{\ddot {\mathbf {x} }}=q\,{\dot {\mathbf {x} }}\times \left(\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)\right)-q\,{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)-q\,\nabla \phi (\mathbf {x} ,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5eb442c5b6673c7b3459e9700943026333ab417.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:53.46ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle m\,{\ddot {\mathbf {x} }}=q\,{\dot {\mathbf {x} }}\times \left(\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)\right)-q\,{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)-q\,\nabla \phi (\mathbf {x} ,t)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Masse_an_Trommel_(nicht-konservativ)">Masse an Trommel (nicht-konservativ)</h3></div>

Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein externes <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Drehmoment</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fec7adc70ea0e1d365e5f7244b6f7ddad9fbf485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)}" loading="lazy"> angetrieben. Die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> der Last beträgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">, das <a href="Massentr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Massenträgheitsmoment">Massenträgheitsmoment</a> der Trommel ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy">. Der Radius der Trommel ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">.

Zwischen den Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=r\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1f7807da64e5df3a1bf6a052623ae53f8597185.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.997ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=r\varphi }" loading="lazy"></dd></dl>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \;{\dot {x}}=r{\dot {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da2c8a4f63666b159100450e737626e55df799fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.626ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \;{\dot {x}}=r{\dot {\varphi }}}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \;\delta x=r\delta \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9e1f7f53a75eb8d4ea0746c2b163147c06f029c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.708ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \;\delta x=r\delta \varphi }" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> sind also nicht unabhängig voneinander. Man wähle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

Die <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> ist:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(m{\dot {x}}^{2}+J{\dot {\varphi }}^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}+J\right)\ {\dot {\varphi }}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18cd154f301c2d17d070068428a9f8fbb33ddf03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:40.201ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(m{\dot {x}}^{2}+J{\dot {\varphi }}^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}+J\right)\ {\dot {\varphi }}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die <a href="Virtuelle_Arbeit" title="Virtuelle Arbeit">virtuelle Arbeit</a> der eingeprägten Kräfte ist

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W=-mg\,\delta x+M\,\delta \varphi =(-mgr+M)\,\delta \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27b08112d6c46aa30e04697938096742c68b0d0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta W=-mg\,\delta x+M\,\delta \varphi =(-mgr+M)\,\delta \varphi }" loading="lazy"></dd></dl>

Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\delta W=0.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\delta W=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67312a343b301429866c7dd39d75b386a2cbf6cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.779ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \,\delta W=0.}" loading="lazy">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \;Q=-mgr+M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2362b813e2ed5d2dd502e1530fe0f6e135e4fd95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \;Q=-mgr+M}" loading="lazy">.</dd></dl>

Eingesetzt in die Lagrangegleichung für diesen Fall

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {T} \over \partial {\dot {\varphi }}}-{\partial {T} \over \partial \varphi }=Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c5a1e945d6e2921e043f9c69e8f056d90c8665f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.326ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {T} \over \partial {\dot {\varphi }}}-{\partial {T} \over \partial \varphi }=Q}" loading="lazy"></dd></dl>

folgt schließlich die <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichung</a>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(mr^{2}+J\right){\ddot {\varphi }}=-mgr+M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7cdcfc8b136145b0c66545c4246b4e336ac5143.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.901ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left(mr^{2}+J\right){\ddot {\varphi }}=-mgr+M}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {\varphi }}={\frac {-mgr+M}{mr^{2}+J}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7543bf0f3881e10af57df1d38d0b97e0e8878cb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.765ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {\varphi }}={\frac {-mgr+M}{mr^{2}+J}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Weitere Bemerkungen:

Dieses Beispiel des Aufzugs ist ein nicht-konservatives Kräftesystem, da die verallgemeinerte Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q=-mgr+M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=-mgr+M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fd39d88c8f92b2a8469bd17d0604d527c5be7c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.233ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q=-mgr+M}" loading="lazy"> über das Drehmoment der Trommel explizit von der Zeit abhängt.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Atwoodsche_Fallmaschine_(Methode_erster_Art)">Atwoodsche Fallmaschine (Methode erster Art)</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Atwoodsche_Fallmaschine" title="Atwoodsche Fallmaschine">Atwoodsche Fallmaschine</a></div>

Bei der Atwoodschen Fallmaschine betrachtet man zwei Punktmassen im Gravitationsfeld der Erde, die über eine Rolle in der Höhe h aufgehängt und durch ein Seil der Länge l verbunden seien. Die Zwangsbedingung lautet in diesem Fall:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,F:=y_{1}+y_{2}+l-2h=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1d22ebeb39d9f4f47167c05dcb4c6b13eeb4888.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.237ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,F:=y_{1}+y_{2}+l-2h=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Wird das Seil berücksichtigt, das auf der Rolle (Rollenradius r) liegt, dann ergibt sich:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F:=y_{1}+y_{2}+l-2h-\pi \ r=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f67afb0ece636a77592508f4af03be33d6e485a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.652ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F:=y_{1}+y_{2}+l-2h-\pi \ r=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Die potentielle Energie V berechnet sich zu:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V:=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6b2cc62a8c0db165b70ef3be4411a817b67cc75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.181ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V:=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für die Gradienten erhält man

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}=1,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y_{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98b931c3bba16856652b46651e420b7cc3625c00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.896ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}=1,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y_{2}}}=1}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y_{1}}}=m_{1}g,\qquad {\frac {\partial V}{\partial y_{2}}}=m_{2}g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aebe7863503bb0bd006e9a793156a3011b1a7d22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.993ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y_{1}}}=m_{1}g,\qquad {\frac {\partial V}{\partial y_{2}}}=m_{2}g}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies führt auf das System der Lagrange-Gleichungen 1. Art:

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}m_{1}{\ddot {y}}_{1}&=&-m_{1}g+\lambda \\m_{2}{\ddot {y}}_{2}&=&-m_{2}g+\lambda \\y_{1}+y_{2}+l-2h&=&0\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83e8d22eef7efeb4d0f0c570e668c794fa103360.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.937ex; margin-bottom: -0.234ex; width:33.522ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}m_{1}{\ddot {y}}_{1}&=&-m_{1}g+\lambda \\m_{2}{\ddot {y}}_{2}&=&-m_{2}g+\lambda \\y_{1}+y_{2}+l-2h&=&0\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies kann man auflösen und erhält z. B. für bekannte Anfangsbedingungen:

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}y_{1}(t)&=&{\frac {1}{2}}{m_{2}-m_{1} \over {m_{1}+m_{2}}}gt^{2}+{\dot {y}}_{1,0}t+y_{1,0}\\\lambda &=&2g{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f275638b12c7a5ac6561c4fe4ba1bb639c131ef2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:37.008ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}y_{1}(t)&=&{\frac {1}{2}}{m_{2}-m_{1} \over {m_{1}+m_{2}}}gt^{2}+{\dot {y}}_{1,0}t+y_{1,0}\\\lambda &=&2g{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mit_einem_Seil_verbundene_Teilchen_auf_einer_Platte_mit_Loch_(Zweikörperproblem_mit_Methode_2._Art)">Mit einem Seil verbundene Teilchen auf einer Platte mit Loch (Zweikörperproblem mit Methode 2. Art)</h3></div>

Die 1. Masse (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31aafa60e48d39ccce922404c0b80340b2cc777a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{1}}" loading="lazy">) ist auf einer dünnen Platte durch ein Loch in der Mitte der Platte durch ein Seil mit konstanter Länge (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy">) mit einer 2. Masse (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ecebe334d5cadc3ffcf245eb02919034d7a2ec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{2}}" loading="lazy">) verbunden, die sich nur in z-Richtung bewegt (die z-Achse zeige in Richtung Erdmittelpunkt).

Die Zwangsbedingungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ce36142a0a1c6660e82bdf3ef3f1551317efe0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.909ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{i}}" loading="lazy"> lauten:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1}=z_{1}=0;\quad g_{2}=x_{2}=0;\quad g_{3}=y_{2}=0;\quad g_{4}={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+z_{2}-l=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dece2d5d51d245ddac1b298eac5fbbfefe317f7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:73.145ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle g_{1}=z_{1}=0;\quad g_{2}=x_{2}=0;\quad g_{3}=y_{2}=0;\quad g_{4}={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+z_{2}-l=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus 4 Zwangsbedingungen bei 2 Massen im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> ergeben sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6-4=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6-4=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8a23addca2f6f6c52975730aa248346db6e4e06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 6-4=2}" loading="lazy"> Freiheitsgrade. Für dieses Problem empfiehlt es sich aufgrund der Azimutalsymmetrie Zylinderkoordinaten zu verwenden. So können die generalisierten Koordinaten einfach bestimmt werden.

In Zylinderkoordinaten können die beiden generalisierten Koordinaten nun als

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mi>arctan</mi>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{1}=r_{1}={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}},\qquad q_{2}=\phi _{1}=\arctan {\frac {y_{1}}{x_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/981b231d3ae1843c678409c477f86cba6dbcb8dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:46.634ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle q_{1}=r_{1}={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}},\qquad q_{2}=\phi _{1}=\arctan {\frac {y_{1}}{x_{1}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gewählt werden, wobei mittels der 4. Zwangsbedingung auch die Bewegung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ecebe334d5cadc3ffcf245eb02919034d7a2ec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{2}}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1}}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{4}=r_{1}+z_{2}-l=0\Leftrightarrow z_{2}=l-r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44dd4252cbaf37560f91af804fed9f348ac6b12a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:34.62ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{4}=r_{1}+z_{2}-l=0\Leftrightarrow z_{2}=l-r_{1}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die kinetische Energie des Systems lautet nun

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}{\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {m_{1}}{2}}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f32d53bd69c27a18b17d6f8ee49401985477264e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.893ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}{\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {m_{1}}{2}}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb228b24999100e0f940d67789f0442b65c2200b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.396ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{1}=0}" loading="lazy"> und sich damit nur die potentielle Energie bei der 2. Masse verändert, lautet sie

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=m_{2}gr_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b39df81efb3a6eeaf26d4af5fbfc4e9fcbcd370.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.735ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=m_{2}gr_{1}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Daraus folgt dann die Lagrangefunktion

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=T-V={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}{\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {m_{1}}{2}}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}^{2}-m_{2}gr_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac90b68b5d43634fb5a84075d1d03b549c0c31bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:46.805ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle L=T-V={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}{\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {m_{1}}{2}}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}^{2}-m_{2}gr_{1}}" loading="lazy"></dd></dl>

Da bei dieser Problemstellung zwei generalisierte Koordinaten vorliegen, folgt jeweils eine Bewegungsgleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea214f2b31fb3869344bb9311da41c5cc38a99e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cf64c7dccd0c826bec4f0df13d467daf64ccf06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.44ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1}}" loading="lazy">:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial r_{1}}}=m_{1}r_{1}{\dot {\phi }}_{1}^{2}-m_{2}g;\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m_{1}+m_{2}){\dot {r}}_{1}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {r}}_{1}\quad \Rightarrow \quad (m_{1}+m_{2}){\ddot {r}}_{1}=m_{1}r_{1}{\dot {\phi }}_{1}^{2}-m_{2}g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bac20425234318068b626d72958780facceb057f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:107.798ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial r_{1}}}=m_{1}r_{1}{\dot {\phi }}_{1}^{2}-m_{2}g;\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m_{1}+m_{2}){\dot {r}}_{1}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {r}}_{1}\quad \Rightarrow \quad (m_{1}+m_{2}){\ddot {r}}_{1}=m_{1}r_{1}{\dot {\phi }}_{1}^{2}-m_{2}g}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mover>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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<msub>

</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi _{1}}}=0;\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}_{1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m_{1}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}=2m_{1}r_{1}{\dot {r}}_{1}{\dot {\phi }}_{1}+m_{1}r_{1}^{2}{\ddot {\phi }}_{1}\quad \Rightarrow \quad 2m_{1}r_{1}{\dot {r}}_{1}{\dot {\phi }}_{1}+m_{1}r_{1}^{2}{\ddot {\phi }}_{1}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d96333c94f565b223c7c6138d52714bc8a11b8ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:92.834ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi _{1}}}=0;\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}_{1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m_{1}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}=2m_{1}r_{1}{\dot {r}}_{1}{\dot {\phi }}_{1}+m_{1}r_{1}^{2}{\ddot {\phi }}_{1}\quad \Rightarrow \quad 2m_{1}r_{1}{\dot {r}}_{1}{\dot {\phi }}_{1}+m_{1}r_{1}^{2}{\ddot {\phi }}_{1}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus der Gleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m_{1}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64053b0de91e59bf1c2ded15abee5dbc3ce329b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.948ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m_{1}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

die Existenz einer Erhaltungsgröße, des <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulses</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Richtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{1}^{z}=m_{1}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{1}^{z}=m_{1}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa53c2f38c2589dec16df6f4ec907693753233c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.455ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle L_{1}^{z}=m_{1}r_{1}^{2}{\dot {\phi }}_{1}}" loading="lazy">, der nach dem Noether-Theorem aus der Unabhängigkeit der Lagrangefunktion von der Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{2}=\phi _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{2}=\phi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a0ceacb8fdac18e9579a26240ece56a19c44935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.629ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q_{2}=\phi _{1}}" loading="lazy"> folgt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teilchen_im_freien_Fall_(allgemeine_Relativitätstheorie)">Teilchen im freien Fall (allgemeine Relativitätstheorie)</h3></div>

In der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> durchlaufen frei fallende Teilchen <a href="Weltlinie" title="Weltlinie">Weltlinien</a> längster Zeit: Zwischen zwei (genügend nah beieinander liegenden) Ereignissen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> vergeht auf einer mitgeführten Uhr auf der Weltlinie frei fallender Teilchen mehr <a href="Eigenzeit" class="mw-redirect" title="Eigenzeit">Zeit</a> als auf allen anderen Weltlinien durch diese Ereignisse. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

<msub>

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</munder>

</mrow>

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</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

</munder>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{AB}=\int _{\underline {s}}^{\overline {s}}L\left(s,x(s),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}\right)\,\mathrm {d} s\ ,\ x({\underline {s}})=A\,,\ x({\overline {s}})=B\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a25b8f2668803acd9625e23a553b5349ae89024d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.463ex; margin-bottom: -0.708ex; width:53.75ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \tau _{AB}=\int _{\underline {s}}^{\overline {s}}L\left(s,x(s),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}\right)\,\mathrm {d} s\ ,\ x({\underline {s}})=A\,,\ x({\overline {s}})=B\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der Lagrange-Funktion

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(s,x,{\dot {x}})={\sqrt {g_{mn}(x)\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b352689d1b273152d19012ed0151282747e49af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.902ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle L(s,x,{\dot {x}})={\sqrt {g_{mn}(x)\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{mn}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/919ac1a5df16b3687748626837e6205d2cb4e2d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.909ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{mn}(x)}" loading="lazy"> die Komponentenfunktionen der <a href="Metrischer_Tensor" title="Metrischer Tensor">Metrik</a> (sowohl Raum- als auch Zeitkomponenten). Wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen, in denen die <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> dimensionslos ist und den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e3467f9e219a5ea38a30da5c3a02c2c23f61a79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1}" loading="lazy"> hat, und verwenden die <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">Einsteinsche Summenkonvention</a>.

Der zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/525e1133440e1565055dec6243aaf0f27d4d4e9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.418ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{k}}" loading="lazy"> konjugierte Impuls ist

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</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{k}}}={\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08bcf67760034e6bf90f29400e3284b0920f4aa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.928ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{k}}}={\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5479359c783534fb416ce96ac9f8bede9d3fb1f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:38.833ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \qquad \qquad =g_{kl}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}+{\frac {{\dot {x}}^{r}\,\partial _{r}g_{ks}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd5f9082be39527348630397610c9ff6526d1bf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:66.523ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \qquad \qquad =g_{kl}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}+{\frac {{\dot {x}}^{r}\,\partial _{r}g_{ks}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Verwenden wir hier als Abkürzung das <a href="Christoffel-Symbol" class="mw-redirect" title="Christoffel-Symbol">Christoffel-Symbol</a>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{rs}^{l}={\frac {1}{2}}g^{lm}{\bigl (}\partial _{r}g_{sm}+\partial _{s}g_{rm}-\partial _{m}g_{rs}{\bigr )}\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d994d47e98d25bd2f4073daba6bc0f3a83dfd3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.713ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{rs}^{l}={\frac {1}{2}}g^{lm}{\bigl (}\partial _{r}g_{sm}+\partial _{s}g_{rm}-\partial _{m}g_{rs}{\bigr )}\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

so erweist sich die Weltlinie längster Dauer als Gerade: Die Richtung der Tangente an die Weltlinie

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u^{l}={\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8761c03c770c8bffd45d546e64c859c3baf4a100.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.408ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle u^{l}={\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ändert sich nicht bei Parallelverschiebung längs der Weltlinie

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=g_{kl}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}u^{l}+{\dot {x}}^{r}\,\Gamma _{rs}^{l}\,u^{s}\right)\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b419e4adc4db3b92d29985ea05ffe934a1d5d41d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.898ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle 0=g_{kl}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}u^{l}+{\dot {x}}^{r}\,\Gamma _{rs}^{l}\,u^{s}\right)\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Parametrisierung wird nicht festgelegt. Verfügen wir so über sie, dass der Tangentialvektor überall gleich lang ist, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}">

<msqrt>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b8a76462e47e0dbd016d3d31db800d952436c01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.421ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}" loading="lazy"> konstant und der Tangentialvektor geht beim Durchlaufen der Weltlinie in sich über. Sie erfüllt die Geodätengleichung

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{l}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{rs}^{l}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x^{r}}{\mathrm {d} s}}\,{\frac {\mathrm {d} x^{s}}{\mathrm {d} s}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b32840792ca15e80747bc1c4c0bba61cbdeab59c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:29.375ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{l}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{rs}^{l}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x^{r}}{\mathrm {d} s}}\,{\frac {\mathrm {d} x^{s}}{\mathrm {d} s}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies ist die allgemein-relativistische Form der Bewegungsgleichung eines frei fallenden Teilchens. Die Gravitation ist in den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{rs}^{l}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{rs}^{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7674f0f059c9dba4c6d7107ccb6e83313f8ecf50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.198ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{rs}^{l}}" loading="lazy"> voll berücksichtigt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ursprüngliche_Darstellung">Ursprüngliche Darstellung</h2></div>

Die ‚Lagrangeschen Gleichungen erster Art‘, wie man sie heute nennt, werden von <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> in seinem Hauptwerk zur Mechanik, der Mécanique Analytique, erstmals 1788 erschienen, im ersten Teil (Die Statik) aus dem <a href="Virtuelle_Arbeit" title="Virtuelle Arbeit">Prinzip der virtuellen Arbeit</a> entwickelt. Man findet die Herleitung im 4. Kapitel (Einfachere und allgemeinere Art, die im zweiten Abschnitt angegebene Gleichgewichtsformel zu gebrauchen), Paragraph 1 (Methode der Multiplikatoren). Für Lagrange selbst war es eine rein algebraische Methode der <a href="Lagrange-Multiplikator" title="Lagrange-Multiplikator">Multiplikatoren</a>, um von den vorgegebenen <a href="Zwangsbedingung" title="Zwangsbedingung">Zwangsbedingungen</a><a href="#cite_note-6">[6]</a> auf die unbekannte Zwangskraft-Funktionen schließen zu können, in denen alle nicht-generalisierten Variablen eliminiert sind. Das heißt, ursprünglich geht Lagrange (für i Zwangskräfte) von der differentiellen Form

</mrow>

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</munderover>

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</munderover>

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</msub>

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</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {Z} _{i}-\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}a_{ki}\right)\delta q_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dd3a3390c761246a0851a1535b4c1863f71c455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.303ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {Z} _{i}-\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}a_{ki}\right)\delta q_{i}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

aus.<a href="#cite_note-7">[7]</a><a href="#cite_note-8">[8]</a> Die Lagrangeschen Gleichungen erster Art werden dann als eine verallgemeinerte Ergänzung auf nicht-holonome Systeme der Dynamik verstanden, in denen auch beschleunigende Trägheitskräfte zugelassen werden, die das statische Gleichgewicht stören.

Die ‚Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art‘ werden erst im zweiten Teil des Hauptwerks Lagranges (Die Dynamik) aus dem <a href="D%E2%80%99Alembertsches_Prinzip" title="D’Alembertsches Prinzip">d’Alembertschen Prinzip</a> entwickelt. Man findet die allgemeine Herleitung im 4. Kapitel (Differentialgleichung zur Lösung aller Probleme der Dynamik). Dort wird insbesondere ab Abschnitt 10 sowohl der Fall von holonomen Zwangsbedingungen diskutiert (die Integrabilität der Differentialgleichungen, Zeitunabhängigkeit der Funktionen und Existenz eines Potenzials V) als auch der nicht-holonome Fall mittels zusätzlicher Multiplikatoren dargestellt. Neben den Lagrange-Gleichungen erster Art ergeben sich dann auch die der zweiten Art in folgender Form:<a href="#cite_note-9">[9]</a><a href="#cite_note-10">[10]</a>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {T} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {T} \over \partial q_{i}}=Q_{i}+\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}a_{ki}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca4cd549b8e3bbea4cf7a52f7c4f34a61a44d119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:32.426ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {T} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {T} \over \partial q_{i}}=Q_{i}+\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}a_{ki}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

Der Lagrange-Formalismus wird in vielen ein- und weiterführenden Lehrbüchern der klassischen Mechanik behandelt.

<ul><li><a href="Herbert_Goldstein" title="Herbert Goldstein">Herbert Goldstein</a>, Charles P. Poole, John L. Safko: <cite style="font-style:italic">Klassische Mechanik</cite>. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-40589-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lagrange-Formalismus&rft.au=Herbert+Goldstein%2C+Charles+P.+Poole%2C+John+L.+Safko&rft.btitle=Klassische+Mechanik&rft.date=2006&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=3527405895&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none"> </li></ul>

<ul><li>Donald T. Greenwood: <cite style="font-style:italic">Advanced Dynamics</cite>. Cambridge Univ. Press, 2003, ISBN 0-521-82612-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lagrange-Formalismus&rft.au=Donald+T.+Greenwood&rft.btitle=Advanced+Dynamics&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=0521826128&rft.pub=Cambridge+Univ.+Press" style="display:none"> </li></ul>

<ul><li>Josef Honerkamp, <a href="Hartmann_R%C3%B6mer" title="Hartmann Römer">Hartmann Römer</a>: <cite style="font-style:italic">Klassische Theoretische Physik</cite>. 3. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-55901-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lagrange-Formalismus&rft.au=Josef+Honerkamp%2C+Hartmann+R%C3%B6mer&rft.btitle=Klassische+Theoretische+Physik&rft.date=1993&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=3540559019&rft.pub=Springer" style="display:none">  (Volltext <a rel="nofollow" class="external text" href="https://freidok.uni-freiburg.de/data/82">hier</a> erhältlich)</li></ul>

<ul><li>Friedhelm Kuypers: <cite style="font-style:italic">Klassische Mechanik</cite>. 8. Auflage. Wiley-Vch, 2008, ISBN 3-527-40721-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lagrange-Formalismus&rft.au=Friedhelm+Kuypers&rft.btitle=Klassische+Mechanik&rft.date=2008&rft.edition=8.&rft.genre=book&rft.isbn=3527407219&rft.pub=Wiley-Vch" style="display:none"> </li></ul>

<ul><li><a href="Cornelius_Lanczos" title="Cornelius Lanczos">Cornelius Lanczos</a>: <cite style="font-style:italic">The Variational Principles of Mechanics</cite>. 4. Auflage. Dover Publ. Inc, 1986, ISBN 0-486-65067-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lagrange-Formalismus&rft.au=Cornelius+Lanczos&rft.btitle=The+Variational+Principles+of+Mechanics&rft.date=1986&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=0486650677&rft.pub=Dover+Publ.+Inc" style="display:none"> </li></ul>

Literatur zu Pfadintegralen.

<ul><li><a href="Hagen_Kleinert" title="Hagen Kleinert">Hagen Kleinert</a>: <cite style="font-style:italic">Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und Polymerphysik</cite>. Spektrum, Mannheim 1993, ISBN 3-86025-613-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lagrange-Formalismus&rft.au=Hagen+Kleinert&rft.btitle=Pfadintegrale+in+Quantenmechanik%2C+Statistik+und+Polymerphysik&rft.date=1993&rft.genre=book&rft.isbn=3860256130&rft.place=Mannheim&rft.pub=Spektrum" style="display:none"> </li></ul>

Historische Quelle.

<ul><li><a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>: Mécanique Analytique. Zweite Auflage (Nouvelle Édition), Paris 1815. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr/page/4/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a> (Zugriffsdatum: 18. Januar 2023)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1157">Artikel Von d´Alembert zu Lagrange II</a> auf <a href="Matroids_Matheplanet" title="Matroids Matheplanet">matheplanet.com</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://itp.uni-frankfurt.de/~hees/faq-pdf/lagrange.pdf">Anwendungen des Lagrange-Formalismus an Beispielen der Oberstufenphysik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Jewgeni_Michailowitsch_Lifschitz" class="mw-redirect" title="Jewgeni Michailowitsch Lifschitz">Lifschitz</a>: Lehrbuch der theoretischen Physik I – Mechanik. Akademie-Verlag Berlin 1987, S. 156. Sowie ursprünglich Lagrange (1811) im Literaturverz., Teil II (Dynamique), Kap. 2, §9, S. 253.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Zum Beispiel Hamel Theoretische Mechanik, Springer Verlag 1967, S. 281.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Die realen anholonomen Zwangsbedingungen wären <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \sum _{k}a_{k}\mathrm {d} q_{k}+a_{t}\mathrm {d} t=0\,.}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \sum _{k}a_{k}\mathrm {d} q_{k}+a_{t}\mathrm {d} t=0\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee509adeff90a434c6e0b6c0e2707450cf373be3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.99ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle \sum _{k}a_{k}\mathrm {d} q_{k}+a_{t}\mathrm {d} t=0\,.}" loading="lazy"> Das Zeitdifferential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t}" loading="lazy"> verschwindet per definitionem bei den zugehörigen sog. virtuellen Verschiebungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta q_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta q_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/893aa8b5eacd994014b5d511a76ca57bdf0fdca6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.174ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta q_{k}}" loading="lazy">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Siehe <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsrechnung</a>. Dort ergeben sich die Euler-Lagrange-Gleichungen aus der Variation eines Funktionals. In der Mechanik ist das betrachtete Funktional die Wirkungsfunktion und man spricht von Lagrange-Gleichung.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Siehe etwa Goldstein, Poole, Safko (2006) aus der Literaturliste, Seite 21 f.; sowie <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">Konservative Kraft</a>

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Lagrange spricht dort in Art. 2. S. 74 im Literaturverz., ganz allgemein von beliebigen "équations de condition données par la nature du systeme". Die dynamische Bedeutung als Zwangsbedingung kommt später hinzu.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>: Mécanique Analytique. Zweite Auflage (Nouvelle Édition), Paris 1815. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr/page/148/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a> (Zugriffsdatum: 22. Januar 2023), Seite 75.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Siehe auch S. 79, Gl. (2.46) in Greenwood (2003), im Literaturverz.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>: Mécanique Analytique. Zweite Auflage (Nouvelle Édition), Paris 1815. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr/page/627/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a> (Zugriffsdatum: 22. Januar 2023), Seite 313 ff.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Siehe auch S. 79, Gl. (2.49) in Greenwood (2003), im Literaturverz.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4316154-6">4316154-6</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

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